#freeze
*ニュートン [#c75f3210]
ニュートンは、1665年に二項定理を発見した。
*二項定理(にこうていり、binomial theorem)とは [#b1a6b6c3]
二項式 x + y の冪乗 (x + y)^n の展開(二項展開)を表す公式のことである。
これは、この展開の一般項 x^ky^n−k の係数を n と k のみで表す定理
#ref(binomial theory.JPG)

定理の主張はこの二項係数は n 個から k 個選ぶ組合せの数 nCk に等しいということである。これはまた、階乗を用いて表される:

#ref(kumiawase.png)

*パスカルの三角形 [#ucdda590]
n 段目の k 番目に nCk を配置(もちろん n も k も 0 から数え始める)した三角形として表され、パスカルに因んでパスカルの三角形という。

*一般2項定理:nが実数αの場合 [#ked63b2d]
-ニュートンは、パスカルの三角形からこの一般二項定理を発見
-[[ニュートンの一般2項定理の発見のプロセス>http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/maed/09nakamura.pdf]]が紹介されていました。
--一般2項定理
#ref(general binomial theory.JPG)
*応用:展開式から積分値を知る [#p95d066e]
-展開式を自在に使って,青年ニュートンは円周率を計算し,また(1 + x^2)^1/2
を項別に積分して逆正弦関数arcsin x の展開式を求め,さらにそれを逆に解いて,西欧世界で最初に正弦関数sin x の展開式を求めた。

参考:[[一般化2項定理による積分計算>http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/maed/09nakamura.pdf]]

トップ   差分 バックアップ リロード   一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS