ネイピア数:オイラー数

  • 文字 "e" による表記は、オイラーによるものである。オイラーは、指数関数 y=a^x が
dy/dx=y

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。

e = exp(1) の素朴な求め方

  • 定義式から
    exp.png

右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、上の等式の右辺によって求まることを示した。

  • 積分公式から
    sekibunexp.png
    ゼロから1の間でオイラー法で積分を行う。キザミ巾を小さくすれば近づく。

オイラー法とは:Euler's Method

微分方程式の数値積分計算法

  • オイラー法で微分方程式 dy/dx=axy(a は任意の定数)を解くプログラムを作ってみましょう。初期値とaの値を入れたら後はオイラー法でひたすら数値積分していきます。その手順は、
1.あるxでの傾き(dy/dx)を求める。これは、axyにその時点でのx, yを代入して計算するだけ。 
2.ある一定の幅でxを増やし1に戻る。
  • オイラー法(ーほう)(Euler's Method) とは、1階常微分方程式の数値解法の一つ。

1階常微分方程式と初期値x0,y0(=Y0)が与えられた場合に、x(n)=x(n-1)+h対するy(n)の近似値Y(n)は、以下のようにあらわされる。(ここでhは、0<hで小さい数である。)

Y(n) = Y(n − 1) + hf(x(n − 1),Y(n − 1)) 
(n=1,2,3,...)

オイラー公式:世界で最も美しい公式

  • 指数関数は、マクローリン展開して、
    e^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4…

と表せます。これにx=iθ(iは虚数単位)を代入すると、途中は飛ばしますが、 オイラーの定理

e^(iθ)=cosθ+i・sinθ

が導かれます。さらにこれにθ=πを代入すると、e^(iπ)=-1となります。 変形するとオイラー公式が得られます

e^(iπ)+1=0 
  • 数学の上で特に興味深い五つの数「e、π、i、0、1」が、ひとつの式で表わされています

オイラーの定理;導出

歴史的にはオイラーはド・モアブルの定理を使って証明したようです。 ド・モアブルの定理から

(cosθ+isinθ)^n = cos(nθ)+isin(nθ)
(cosθ-isinθ)^n = cos(nθ)-isin(nθ)

なので、

cos(nθ)=[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2

となります。θ=x/n としnを非常に大きな数とすると、

cosθ=cos(x/n)=cos0=1,sinθ=sin(x/n)=x/n

となるので、

cosx=cos(nθ)
  =[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2
  =[(1+ix/n)^n+(1-ix/n)]/2

と変形できます。 nは非常に大きいという特徴を使うとネイピア数eは定義から、

  e^x=(1+x/n)^n

なので,xをix、-ixに置き換えて先ほどの式に代入すると、

cosx=[e^(iθ)+e^(-iθ)]/2

を示せる。同様に計算すると、

sinx=[e^(iθ)-e^(-iθ)]/2i

なので、

cosx+isinx=[e^(iθ)+e^(-iθ)]/2+i[e^(iθ)-e^(-iθ)]/2i=e^(iθ)

で、導けました。


添付ファイル: filesekibunexp.png 476件 [詳細] fileexp.png 454件 [詳細]

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Last-modified: 2009-10-15 (木) 23:27:00 (3680d)