代数方程式

x に関する方程式で 

f(x)= anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1^x + a0 = 0 ........(1)

を n 次の代数方程式と呼ぶ。

解の公式

n=1, 2, 3, 4 の場合は、ベキ根と四則演算による解の公式がある.

  • アーベルの定理
    n が5以上の場合、解の公式は存在しない。

一般の代数方程式に関する、ベキ根と四則演算による解の公式は存在しないが、個々の方程式については、ベキ根と四則演算だけで解を求めることができる場合がある。

代数的数

代数学における代数的数(だいすうてきすう、英: algebraic number)とは、ある有理数係数の多項式の根となる複素数のことである。

代数多項式(1)が有理数係数である場合 f(a)=0 が成り立つならば、aは代数的数である

無理数ではたとえば √2 は

f(x) = x^2 − 2

の根であるので代数的数であるし、複素数でも

f(x) = x^2 + 1

の根である i は代数的数である。

  • 代数的数の、定規とコンパスによる有限回の操作で作ることができる数は?
    • 数学的には、定規とコンパスによる作図で表せるのは二次方程式を繰り返し解いて得られる範囲の数であることが知られている。有理数、平方根と四則演算を繰り返し用いて得られる数は作図可能である。参考-->不可能だった問題

円積問題

円積問題(えんせきもんだい)とは古代の幾何学者たちによって定式化された「与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと同じ面積の正方形を作図することができるか」という問題である。円の正方形化 (squaring the circle) とも呼ばれる。

  • 英語でsquare the circleとは 「不可能なことを企てる」という意味
  • 1882年に、円周率が超越数であることが示されたことにより、円積問題は実現不可能だと証明された。

超越数

全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。 例えば円周率 π や 自然対数の底(ネイピア数) e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。 この様な数のことを超越数と呼ぶ。

  • 有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数になる。
  • 有理数(ゆうりすう、rational number)とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a / b という分数で表せる数
  • 初等関数の特殊値が超越数となる例
    • 代数的数 αに対する、e^α (但しαは零でない場合)
    • 代数的数 αに対する、sinα, cosα, tanα (但しαは零でない場合)
    • 代数的数 α、βに対する、sin(απ + β), cos(απ + β), tan(απ + β) (α、βは零でない場合)
    • 代数的数 α に対する、logα (αは0、1でない場合)

ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

円分多項式

円周等分多項式或いは円分多項式と呼ばれる次の方程式、

x^n - 1 = 0

は、任意の n について、ベキ根と四則演算だけで解を求めることができる。

  • n=2 の場合
    • 根の公式
  • n=3 の場合
    • 根の公式
  • n=4 の場合
    • 明らか
  • n=5 の場合
    • 1の5乗根。黄金数が出てくる。
  • n=7 の場合
    • 3次方程式 カルダノの公式
  • n=17 の場合

x^5=1

  • 因数分解による方法

因数分解して

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

左辺よりx=1

右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2=0となる。

これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0

x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0

因数分解してt=(-1±√5)/2となる。

x+1/x=tに戻して

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

2x^2-(-1±√5)x+2=0

再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√(-10+2√5)]/4.

で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると

x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4

(√5 の直前の複号だけ同順) となる。

  • ドモアブルの定理を使う方法

x=cosθ+i・sinθ とおく。

x^5=cos5θ+i・sin5θとなる。

cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となる。θ=2nπ/1 n=1,2,3,4.5 の場合が解。

ドモアブルの定理とは

ド・モアブルの定理(-ていり。ド・モアブルの公式(-こうしき)とも)とは整数nに対して、

(cosθ + isinθ)^n = cosnθ + i・sinθ 

が成り立つという複素数に関する定理である

  • アブラーム・ド・モアブル(Abraham de Moivre, 1667 - 1754年)はフランスの数学者である。

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Last-modified: 2010-05-21 (金) 19:58:00 (3462d)