ラグランジュの未定乗数法

  • n変数関数: f(x1,x2,・・・,xn) が拘束条件:g(x1,x2,・・・,xn)=0 のもとで極値をとる必要条件は,適当なλを変数に加えた(n+1)変数関数:
     L(x1,x2,・・・,xn,λ)=f(x1,x2,・・・,xn)+λg(x1,x2,・・・,xn)

が極値をとること。

  • 拘束条件が,g1(x1,x2,・・・,xn)=0,・・・,gm(x1,x2,・・・,xn)=0,と m 個ある場合は, 適当なλjを変数に加えた(m+n)変数関数:
 L(x1,x2,・・・,xn,λ1,・・,λm)=f(x1,x2,・・・,xn)+λ1g1(x1,x2,・・・,xn)+・・・+λmgm(x1,x2,・・・,xn)

が極値をとること。(ただし,m<n )

楕円に内接する四角形の面積をもとめよ

四角形の面積を f(x,Y) ,楕円に内接するという拘束条件を g(x,y)=0 とおきます。

f(x,y)=4xy
g(x,y)=(x/a)^2 + (y/b)^2 -1= 0

ラグランジェ関数 L(x,y,λ)は

L = f(x,y)+λ・g(x,y)=4xy+λ・{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}

なので、次の三式を x , y , λ を独立変数のように見なしてLをそれぞれで偏微分して0と置き、連立すればよいだけです.

4y+ λ・2x/a^2=0
4y+ λ・2y/b^2=0
(x/a)^2 + (y/b)^2 =1

連立して解けば

x=a/√2 y=b/√2 λ=-2ab

そこで  最大面積 Smax=2ab (x=a/√2 y=b/√2の時) を得ることができる。

平均一定のもとで、エントロピーを最大とする分布:正規分布

  • 正規分布になることを証明せよ。

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Last-modified: 2010-04-21 (水) 08:52:00 (3493d)