ポアソン分布

poisson-distribution.gif

ポアソンの定理

二項分布がnが十分大きいとき、ポアソン分布近似できる。(ポアソンの定理)

  • pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし、n->∞のとき、pn-->λの時
    poason.gif

何故か?

証明してみましょう

  • nが非常に大きくて、pが小さい時は 
    np=λ
    と置いてみましょう。 (1-p)^n は、指数の定義から、下記のように近似できる。
    (1-p)^n=(1-λ/n)^n=EXP(-λ)
    二項係数は、
    nCk=n(n-1)....(n-k+1)/k!
       =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)n^k/K!
       =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)(λ/p)^k/K!
    である。 二項確率分布は、下記のように表現できる。
    P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)
           =nCk p^k(1-p)^n(1-p)^(-k)
          ={1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)/K!(a/(1-p))^k (1-p)^n
  • nが大きいと
    • 第1項は1/k!に近づく
    • 第2項はλ/(1-p)=λ/(1-p)=λ/(1-λ/n)なので、λ^kに近ずく。
    • 第3項はEXP(-λ)に近づく 以上より

n-->大きい時、二項確率分布 P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k) はP(k,λ)=[λ^k/k!]EXP(-λ),λ=n/p なる ポアソン分布に従う。

例題

世界の航空機事故のデータによれば、「年間1千万回(n=10^7)のフライト数に対して、おおよそ10件の事故が発生している。」ようです。

  • 問1.n=10^7、p=10^(-6)として、1年間にk回事故が起こる確率を、数式で表わせ。
  • 問2.1年間に3回事故が起こる確率はいくらでしょうか。

添付ファイル: filepoisson-distribution.gif 528件 [詳細] filepoason.gif 501件 [詳細]

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Last-modified: 2010-09-13 (月) 10:43:00 (3347d)